Optik zum Nachrechnen · 8. Schulstufe
Diese Seite ist entstanden, um im Rahmen einer Jahresarbeit über Natur- und Tierfotografie die Wirkung von Objektiven zu verdeutlichen – sie gehört nicht zur Arbeit selbst. Sie versucht, das Wichtigste an einem Fotoobjektiv nicht zu behaupten, sondern vorzurechnen: warum ein Teleobjektiv einen so schmalen Ausschnitt zeigt, was die Blende wirklich tut, und wieso ein Zoom länger wird, wenn man zoomt.
Sie hat zwei Teile, und die sind verschieden genau. Der erste rechnet ein wirkliches Objektiv vollständig durch, mit den Bauzahlen aus seiner Patentschrift. Der zweite vergleicht sechzehn Objektive in einem einfachen Modell. Beides steht absichtlich nebeneinander: so sieht man, was eine Rechnung ist und was eine Veranschaulichung.
Teil 1 · Ein Objektiv, durchgerechnet
Dieses Objektiv hat 19 Linsen. Wo jede davon sitzt, wie stark sie gekrümmt ist und aus welchem Glas sie besteht, steht in der Patentschrift JP 2024-120449 A – einem öffentlichen Dokument. Aus diesen Zahlen ist hier jeder Strahl einzeln durch alle 36 Flächen gerechnet: Schnittpunkt mit der Kugelfläche, Brechung nach dem Brechungsgesetz, weiter zur nächsten. Keine dicke Linse wird zur dünnen vereinfacht, nichts ist geschätzt.
Gezeichnet sind zwölf gleichmäßig über das Bildfeld verteilte Strahlen und ein Mittelstrahl. Jeder kommt aus einer anderen Richtung – zusammen zeigen sie, was das Objektiv überhaupt sieht, und wo jede dieser Richtungen auf dem Sensor landet.
Die dreizehn Strahlen kommen in genau gleichen Winkelabständen herein. Auf dem Sensor landen sie trotzdem nicht in gleichen Abständen: außen ist der Abstand größer als in der Mitte. Der Grund steht in der Formel, nach der ein Objektiv abbildet – die Bildhöhe wächst mit dem Tangens des Winkels, und der wächst schneller als der Winkel selbst. Bei 50 mm sieht man den Unterschied deutlich, bei 300 mm fast nicht mehr: auf einem so schmalen Winkelbereich ist der Tangens praktisch eine Gerade.
Zwischen 50 und 300 mm kommt kein einziges Stück Glas dazu. Es ändern sich fünf Luftabstände, mehr nicht – und aus 50 mm werden 300.
| Stellung | nach Fl. 5 | nach Fl. 14 | nach Fl. 25 | nach Fl. 28 | nach Fl. 34 | Baulänge |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 50 mm | 5,1 | 31,0 | 2,7 | 16,5 | 18,5 | 166,0 |
| 150 mm | 47,0 | 7,0 | 9,6 | 12,6 | 26,7 | 195,0 |
| 300 mm | 70,1 | 1,2 | 2,7 | 17,3 | 39,6 | 223,0 |
Die Summe der Veränderungen ist genau die Differenz der Baulängen: 223,0 − 166,0 = 57,0 mm. So weit fährt der Tubus aus. Nur diese drei Stellungen stehen im Patent; alles dazwischen rechnet die Seite sich weich zurecht.
Von vorn blickt man durch die Frontgruppe auf die Blende. Sie erscheint dabei vergrößert und verschoben – dieses scheinbare Loch heißt Eintrittspupille, und nur sein Durchmesser bestimmt, wie viel Licht ankommt. Die Blendenzahl ist nichts anderes als Brennweite geteilt durch diesen Durchmesser: bei 300 mm sind das 290,9 ÷ 44,8 = 6,5.
Woher weiß man, dass die Rechnung stimmt? Man rechnet die Brennweite aus dem fertigen Strahlengang zurück und vergleicht sie mit der im Patent angegebenen. Sie trifft auf 0,012 Prozent. Dasselbe beim Bildwinkel: der aus dem Strahlengang ermittelte halbe Feldwinkel trifft den dokumentierten Wert auf vier Nachkommastellen. Das ist keine Kleinigkeit – eine falsche Brechzahl oder ein vertauschtes Vorzeichen würde man sofort sehen.
Teil 2 · Sechzehn Objektive im einfachen Modell
Für die meisten Objektive gibt es keine veröffentlichten Konstruktionsdaten. Was man hat, sind Herstellerangaben: Brennweite, Blendenbereich, Anzahl der Linsen und Gruppen, Filtergewinde, Baulänge. Daraus lässt sich vieles richtig ausrechnen – Bildwinkel, Eintrittspupille, Schärfentiefe, hyperfokale Entfernung – und manches nur andeuten.
Der Innenaufbau in dieser zweiten Zeichnung ist deshalb schematisch. Die Anzahl der Gruppen stimmt, ihre Anordnung nicht. Der graue Bereich dagegen ist der wirkliche Bildwinkel in echten Grad, und die Tabelle unter der Zeichnung rechnet mit richtigen Formeln. Wer den Unterschied zu Teil 1 sehen will: dort ist das Glas selbst die Rechnung, hier ist es ein Symbol.
APS-C rechnet mit 23,5 × 15,6 mm Sensorfläche und 0,020 mm zulässigem Zerstreuungskreis – das entspricht etwa einer Sony a6300. Vollformat rechnet mit 36 × 24 mm und 0,030 mm, etwa einer Sony a7 II. Andere Kameras desselben Formats verhalten sich gleich.
| Eintrittspupille Brennweite geteilt durch Blendenzahl | So breit ist das Bündel in der Zeichnung – im Verhältnis zum Frontdurchmesser. | |
|---|---|---|
| Axiales Bündel Pupille bezogen auf das Filtergewinde | Nur der Anteil für einen Punkt in der Bildmitte – bei Weitwinkeln wenig, das ist normal. | |
| Mit Randstrahlen Modellschätzung, inklusive Bündel für die Bildecken | Grobe Abschätzung aus Bildwinkel und Filtergewinde – ohne reale Pupillenlage und Vignettierung. | |
| Bildfeld diagonal am gewählten Sensor, bei dieser Entfernung | Der graue Bereich in der Zeichnung. Hängt von Brennweite und Sensorformat ab – die Blende ändert daran nichts. | |
| Bildwinkel wie umgerechnet aufs Kleinbild | An APS-C zeigt dieselbe Brennweite einen um den Faktor 1,5 engeren Ausschnitt. | |
| Relative Beleuchtungsstärke am Sensor, bezogen auf die Offenblende | Die Fläche wächst im Quadrat zum Durchmesser – jede Stufe kostet die Hälfte. | |
| Verschlusszeit ausgehend von 1/1000 s bei Offenblende | Bei gleichem ISO. Hier wird im Wald entschieden, ob das Bild noch geht. | |
| Schärfentiefe von … bis | Der Bereich, in dem beide Zerstreuungskreise klein genug bleiben. | |
| Tiefe insgesamt | Ab der hyperfokalen Entfernung reicht sie bis unendlich. | |
| Hyperfokale Entfernung | Darauf scharf gestellt, ist alles von der halben Distanz bis unendlich scharf. | |
| Vordergrund | Der türkise Fleck oben am Sensor, in echten Millimetern. | |
| Hintergrund | Der violette Fleck unten. Bei gleichem Abstand kleiner als der Vordergrund. |
Die Linsen bleiben, wie sie sind. Was kleiner wird, ist allein der Teil des Glases, durch den noch Licht läuft – in der Zeichnung der eingefärbte Kegel innerhalb der Elemente.
Das erklärt zum Teil, warum abgeblendete Bilder oft besser aussehen: Schmalere Bündel vermeiden die äußeren Zonen jedes Bündels, die am meisten zu Abbildungsfehlern beitragen. Es heißt aber nicht, dass nur noch die Linsenmitte benutzt würde – die Bündel der Bildränder laufen weiterhin seitlich versetzt durch das Glas, nur eben dünner. Und bei stärkerem Abblenden wird zunehmend Beugung sichtbar; ab wann sie praktisch stört, hängt von Sensorauflösung, Pixelgröße und Ausgabegröße ab.
Der hellgraue Bereich ist das gesamte Bildfeld, und links von der Eintrittspupille ist er winkeltreu gezeichnet: Was im Bild wie 104 Grad aussieht, sind auch 104 Grad. Der Bogen am Scheitel trägt die Gradzahl. Bei den weiten Brennweiten läuft das Feld deshalb schon nach wenigen Zentimetern aus dem Bild – das ist kein Zeichenfehler, sondern die Aussage: Ein 14-mm-Objektiv sieht fast alles, was vor ihm liegt.
Im Modell setzt das Feld an dem geschätzten genutzten Bereich der Frontöffnung an – der Wert steht in der Tabelle unter mit Randstrahlen. Das Licht tritt eben nicht durch einen Punkt ein, sondern über eine Fläche: Jeder Punkt der Szene schickt ein Bündel vom Durchmesser der Eintrittspupille, und die äußere Begrenzung des grauen Bereichs ist die Einhüllende all dieser Bündel.
Erst die Hauptstrahlen – die gestrichelten Linien, also die Mittellinien der Randbündel – laufen auf einen Punkt zu. Dieser Punkt ist die Eintrittspupille: das optische Bild der physischen Blende, wie es die vorderen Linsengruppen nach außen werfen. Sie ist damit kein Bauteil und liegt im Allgemeinen nicht dort, wo die Blende tatsächlich sitzt – bei Weitwinkeln oft weit davor, bei Teleobjektiven weit dahinter. Dass die Hauptstrahlen sich in ihr kreuzen, macht anschaulich, warum oben und unten vertauscht werden; die eigentliche Bildumkehr folgt aber aus der Abbildung durch das ganze System, nicht aus diesem Punkt allein. In der Zeichnung ist die Blende der Übersicht halber in die Mitte des Gruppenpakets gesetzt; wo sie wirklich sitzt, ist bei keinem dieser Objektive veröffentlicht. Rechts der Pupille bleibt die Darstellung schematisch, weil der Sensor nicht im wahren Abstand steht: Bei Fokus auf unendlich liegt er eine Brennweite hinter der bildseitigen Hauptebene – beim 14er also 14 mm, beim 300er 300 mm. In einem gemeinsamen Maßstab würden die kurzen Brennweiten zu einem Strich zusammenfallen.
Die drei farbigen Punkte liegen immer innerhalb dieses Feldes und wandern mit ihm. Bei einem Weitwinkel spreizen sie weit auseinander, bei einem Tele rücken sie eng zusammen – das ist genau der Unterschied, den man durch den Sucher sieht.
Damit wird auch verständlich, warum Weitwinkel so große Frontlinsen brauchen. Der farbige Kegel zeigt nur die Bündel nahe der Bildmitte; die machen bei kurzen Brennweiten einen kleinen Teil der Frontlinse aus – das Minolta 17-35 mm bei f/2,8 hat sechs Millimeter Eintrittspupille in einem 77er-Gewinde. Das übrige Glas ist trotzdem nicht überflüssig: Es trägt die schräg einfallenden Bündel der Bildränder. In der Tabelle stehen deshalb beide Zahlen, axiales Bündel für die Mitte und mit Randstrahlen für den grob geschätzten benötigten Durchmesser. Am kurzen Ende des 17-35 sind das rund hundert Prozent, bei 35 mm nur noch gut die Hälfte: In diesem Modell bestimmt vor allem das weitwinklige Zoomende, wie groß die Frontöffnung sein muss.
Die Brennweite ist der Haupthebel: Vom Walimex 14 mm an Vollformat bis zum Tamron bei 300 mm reicht die Spanne von 114 auf 8 Grad.
Das Sensorformat ebenso. Dieselbe Optik sieht an APS-C deutlich weniger als an Vollformat, weil der kleinere Sensor nur den mittleren Ausschnitt des Bildkreises benutzt. Umschalten genügt, das Feld springt sichtbar.
Die Entfernung wirkt schwach, aber real: Beim Fokussieren in die Nähe wächst die Bildweite, und das Feld wird enger. Der angezeigte Wert gilt für eine ideale Auszugsfokussierung, bei der das ganze Objektiv nach vorn fährt. Die tatsächliche Fokusatmung eines konkreten Objektivs kann davon deutlich abweichen, besonders bei Innenfokussierung – sie lässt sich nur messen, nicht aus den Katalogdaten errechnen.
Die Blende ändert am Bildwinkel dagegen gar nichts. Sie macht nur den Kegel dünner, nicht das Feld enger – deshalb bleibt der graue Bereich stehen, während der farbige schrumpft.
Der Motivpunkt liegt auf der optischen Achse, also landet auch sein Bildpunkt auf der Achse – mittig auf dem Sensor. Die beiden anderen liegen daneben, und ihre Bilder wandern auf die jeweils andere Seite: Der Hintergrundpunkt oben wird unten abgebildet, der Vordergrundpunkt unten oben.
Scharf gestellt. Im dargestellten Idealmodell treffen sich die Strahlen eines fokussierten Objektpunkts genau in der Sensorebene – unabhängig davon, wie weit die Blende offen ist. Ein reales Objektiv kommt dem nahe, erreicht es aber nie ganz.
Weiter weg. Ferneres wird näher an der Linse abgebildet. Das Bündel kreuzt sich schon vor dem Sensor und läuft danach wieder auseinander – angekommen ist keine Spitze, sondern eine Scheibe.
Näher dran. Umgekehrt: Näheres wird weiter hinten abgebildet. Das Bündel wäre erst hinter dem Sensor fertig; gestrichelt ist angedeutet, wo es scharf würde. Bei gleichem Abstand verwischt der Vordergrund immer stärker als der Hintergrund – die Schärfentiefe ist nicht symmetrisch.
Gleiche Blendenzahl, andere Brennweite. Walimex 14 mm und Sonnar 135 mm, beide bei f/2,8 auf 10 Meter. Fünf Millimeter Pupille gegen achtundvierzig. Dieselbe Zahl, fast der zehnfache Durchmesser – deshalb ist beim Weitwinkel alles scharf und beim Tele ein Handbreit.
Gleiche Brennweite, andere Blende. Minolta MD 50 mm bei f/2 gegen Sony FE 50 mm Makro bei f/2,8. Das ist eine volle Blendenstufe: 25 gegen 18 Millimeter Pupille, die doppelte Öffnungsfläche – und entsprechend anderes Bokeh bei identischem Bildausschnitt.
Zoom am kurzen und am langen Ende. Schieb das 24-240 durch: Der Tubus fährt aus, die Offenblende rutscht stufenweise von f/3,5 auf f/6,3, und die Pupille wächst trotzdem von sieben auf achtunddreißig Millimeter. Lichtschwächer und freistellungsstärker zugleich.
Die Ansicht neben dem Regler zeigt die Blende von vorn, mit der richtigen Lamellenzahl des gewählten Objektivs – sechs beim Sonnar, sieben bei den meisten Sonys, neun beim Tamron und beim Sigma, elf bei den beiden GM. Offen ist die Öffnung nahezu rund, abgeblendet nimmt sie die Form der Lamellen an. Am besten sieht man das an den Lichtpunkten im Hintergrund: Sie bilden die Blendenöffnung selbst ab.
Diese Seite rechnet jedes Objektiv so, als wäre es eine einzige dünne Linse mit fester Brennweite. Das ist die Rechnung, die auch in jedem Lehrbuch steht, und sie ist erstaunlich gut – solange man sich nicht zu nah ans Motiv begibt. Weil die Seite aber echte Objektive beim Namen nennt, ist es fair zu sagen, wo dieses Modell an seine Grenzen kommt. Fünf Punkte sind dabei wichtig.
Erstens: Ein Objektiv ist keine dünne Linse. In einem Sonnar stecken fünf Linsen, im Tamron neunzehn. Bei normalen Entfernungen verhält sich ein solches Paket fast genau wie eine einzelne Linse – deshalb funktioniert die Rechnung dort gut. Beim Fokussieren in den Nahbereich stimmt das nicht mehr: Moderne Objektive verschieben dabei einzelne Gruppen gegeneinander und ändern dadurch ihre Brennweite. Das Sony 50-mm-Makro erreicht deshalb einen Abbildungsmaßstab von 1:1 schon bei 16 Zentimetern, während die Dünnlinsenrechnung dafür rund 20 Zentimeter bräuchte. Unterhalb der zehnfachen Brennweite erscheint deshalb ein Warnhinweis.
Zweitens: Eintrittspupille und Blende sind zwei verschiedene Dinge. Die Blende ist ein Bauteil aus Metalllamellen, mitten im Objektiv. Die Eintrittspupille ist das, was man sieht, wenn man von vorn hineinschaut – nämlich das Bild dieser Lamellen, vergrößert oder verkleinert durch die Linsen davor. Nur wenn vor der Blende keine Linse säße, lägen beide am selben Ort. In Wirklichkeit liegt die Pupille bei Weitwinkeln oft weit vor der Blende, bei Teleobjektiven dahinter. Für die Rechnung zählt immer die Pupille: Brennweite geteilt durch Blendenzahl ergibt ihren Durchmesser, nicht den der Lamellenöffnung.
Drittens: Das Filtergewinde ist nicht die Frontlinse. Der Durchmesser des Objektivs in der Zeichnung ist das Filtergewinde, weil nur das in jedem Datenblatt steht. Die Frontlinse selbst ist etwas kleiner, weil das Gewinde außen um sie herum läuft. Die Prozentangaben zur Ausnutzung sind deshalb Größenvergleiche, keine Messungen – sie zeigen richtig, dass ein Weitwinkel bei Offenblende fast sein ganzes Glas braucht und ein abgeblendetes Tele nur einen Bruchteil, aber die genaue Zahl sollte man nicht auf das Prozent nehmen.
Viertens: Die Fokusatmung ist hier ein Idealfall. Die Seite nimmt an, dass beim Fokussieren das ganze Objektiv nach vorn fährt – so war es bei alten Objektiven wie dem Sonnar oder dem Minolta. Viele neuere Konstruktionen bewegen stattdessen nur eine innere Gruppe und atmen dann völlig anders, manche kaum, manche sehr stark. Der angezeigte Wert zeigt also die Richtung des Effekts, nicht den Messwert des konkreten Objektivs.
Fünftens: Die Zeichnung kann nicht überall maßstäblich sein. Links von der Eintrittspupille stimmt der Winkel, dort sind Höhe und Breite gleich skaliert. Rechts davon geht das nicht mehr: Der Sensor sitzt bei Unendlich eine Brennweite hinter der Linse, also beim 14er vierzehn Millimeter und beim 300er dreihundert. Beides im selben Bild, und die kurzen Brennweiten würden zu einem Strich. Also ist die Bildseite gestaucht – die Zahlen in der Tabelle sind davon nicht betroffen.
Nichts davon macht die Seite unbrauchbar. Für alles, was man draußen tatsächlich entscheidet – welche Blende, welche Brennweite, wie viel Schärfentiefe bleibt, wie stark der Hintergrund verschwimmt – liegt sie bei normalen Aufnahmeentfernungen richtig. Man sollte nur wissen, dass sie ein Modell zeigt und keine Konstruktionszeichnung.
Methode, Grenzen, Haftung
Für jede der 36 Flächen sind Krümmungsradius, Dicke und Brechzahl bekannt. Ein Strahl wird als Gerade angesetzt, mit der Kugelfläche geschnitten, an der Flächennormalen nach dem Brechungsgesetz gebrochen – und das 36-mal hintereinander. Als Probe wird die Brennweite aus dem fertigen Strahlengang zurückgerechnet; sie trifft die im Patent angegebene auf 0,012 Prozent.
Nicht gezeigt sind: die asphärischen Flächen als solche – sie sind hier als reine Kugelflächen gezeichnet, die Abweichung läge bei Hundertstelmillimetern und wäre unsichtbar; die Fassung, der Bildstabilisator und der Fokusmotor; die Farbfehler, denn gerechnet ist für eine einzige Wellenlänge; und die Scharfstellung, denn gerechnet ist für unendliche Entfernung. Die freien Öffnungen sind Obergrenzen aus der Glasgeometrie, nicht die gefassten Durchmesser. Zwischenstellungen des Zooms sind interpoliert; exakt sind 50, 150 und 300 mm.
Herstellerangaben: Brennweite, Blendenbereich, Linsen- und Gruppenzahl, Lamellenzahl, Naheinstellgrenze, Filtergewinde, Gewicht und Baulänge. Bei den Zooms folgt die Offenblende dokumentierten Stufen; wo keine Quelle den Umschaltpunkt nennt, wird linear interpoliert und der Wert mit ≈ gekennzeichnet.
Daraus gerechnet, als Dünnlinsen-Idealfall: Eintrittspupille, Schärfentiefe, hyperfokale Entfernung, Bildfeld und die Zerstreuungskreise in Millimetern – mit 0,020 mm zulässigem Zerstreuungskreis an APS-C und 0,030 mm an Vollformat. Für normale Entfernungen eine gute Näherung, im Nahbereich nicht; dort erscheint ein Warnhinweis.
Modellschätzung, nicht belastbar: die Lage der Eintrittspupille und daraus der Wert „mit Randstrahlen“. Beide sind aus Bildwinkel und Filtergewinde erschlossen, unter der Annahme, dass die Frontlinse gerade für das weiteste Feld des Objektivs ausgelegt ist. Das Filtergewinde ist zudem nicht der Durchmesser der Frontlinse, sondern etwas größer – die Prozentwerte sind Größenvergleiche, keine Messungen. Auch die Position der Blende im Gruppenpaket ist gesetzt, nicht belegt.
Maßstäblich gezeichnet: der Feldwinkel objektseitig, das Filtergewinde als Objektivdurchmesser, die Baulänge nach Herstellerangabe und die Breite des Strahlenbündels nach der Eintrittspupille. Sehr kleine Öffnungen werden mit einer Mindestbreite gezeichnet, sonst wären sie unsichtbar.
Schematisch: die Anordnung der Linsen im Schnitt. Kein Hersteller veröffentlicht dazu eine Beschreibung – welche Gruppen verkittet sind und wo genau die Blende im Aufbau sitzt, ist für keines dieser Objektive belegt. Gezeichnet wird die belegte Anzahl der Gruppen in neutraler Folge, mit der Blende in der Mitte. Auch die Strahlablenkung an den Gruppen ist nachempfunden. Bei den Zooms ist der Auszug nur dort maßstäblich, wo er belegt ist – beim 24-240 mit 76,4 mm, beim 18-55 mit rund 19 mm, beim Minolta 17-35 mit 8,5 mm; beim Tamron und beim 16-35 GM ist er symbolisch, weil keine Quelle ihn beziffert. Einzelne Vorbehalte je Objektiv stehen in der Notiz unter der Auswahl.
Quellen: Herstellerangaben von Sony, Tamron, Sigma, Samyang und Canon; ergänzend digitalkamera.de, OpticalLimits, LensTip, LENS-DB, mhohner.de, Dyxum, allphotolenses.com, photoreview.com.au, Imaging Resource und Kamerastore.
Diese Seite ist ein Schulprojekt und dient dem Verständnis. Sie ersetzt kein Lehrbuch, keine Messung und keine Herstellerangabe. Trotz sorgfältiger Arbeit kann sie Fehler enthalten; für Richtigkeit und Vollständigkeit wird keine Gewähr übernommen, und eine Haftung für Schäden aus der Nutzung ist ausgeschlossen. Wer auf die Zahlen hin etwas kauft oder plant, prüfe sie bitte selbst nach.
Wo etwas nicht belegt ist, steht das dabei. Geschätzte Werte sind als Schätzung gekennzeichnet, interpolierte als interpoliert. Nichts auf dieser Seite ist aus einer Zeichnung abgegriffen oder erfunden.
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Teil 1: JP 2024-120449 A, Tamron Co. Ltd., Ausführungsbeispiel 1 – 19 Linsen, davon zehn paarweise zu fünf Kittgliedern verbunden. Es handelt sich um die veröffentlichte Patentanmeldung zum 50-300 mm; sie beschreibt die Rechnung, nicht zwangsläufig die letzte Serienfassung.
Teil 2: Herstellerangaben von Sony, Tamron, Sigma, Samyang und Canon; ergänzend digitalkamera.de, OpticalLimits, LensTip, LENS-DB, mhohner.de, Dyxum, allphotolenses.com, photoreview.com.au, Imaging Resource und Kamerastore.
Verantwortlich für den Inhalt: Daniel Steinbach, Szenenbildner (Filmarchitektur), A-2391 Kaltenleutgeben, Österreich, danielsteinbach@gmx.net. Privat und nicht kommerziell. Die Seite lädt keine fremden Inhalte nach, setzt keine Cookies und wertet nichts aus; sie liegt auf GitHub Pages, das beim Abruf technisch bedingt die IP-Adresse verarbeitet (Datenschutzbestimmungen von GitHub).